En las últimas dos semanas hemos hablado de los cuatro «puntos» del Triángulo: Illornter, Subernerro, Ortocenter y Barbicentro; Pero, por supuesto, hay otros puntos singulares, como los puntos promedio de los lados (M, N, P). Y también los puntos de intersección de las tres alturas con las bases respectivas (E, G, J) son especiales. Y lo que los hace dobles especiales es que hay una circunferencia que los pasa a todos. Y, aún más difícil, esta circunferencia también cruza otros tres puntos singulares, aunque no tan evidentes como los anteriores: los puntos promedio de los segmentos que combinan a los tres líderes con el ortocentro (D, F, H).
Es la circunferencia de los nueve puntos, también conocidos como la circunferencia de Feuerbach, atribuir su descubrimiento al matemático alemán Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), hermano del famoso filósofo Ludwig Feuerbach, uno de los padres del materialismo histórico.
La demostración de la existencia de la circunferencia de Feuerbach, así como la determinación de su centro, es algo complicada, pero ya no requiere conocimiento de los de geometría elemental, ¿se atreva a intentarlo? Y si cree que es demasiado difícil, puede comenzar con uno más simple: demostrar que la circunferencia de un triángulo de Feuerbach es homotético de su circunferencia circunscrita y que el centro de la homolicy es el ortocéntrico del triángulo. ¿Cuál es la razón de la homotecia?
Recuerde que la homotecia es una transformación geométrica en comparación con un punto (p) llamado Centro de Homotecia, lo que lo hace correspondiente a una figura similar (más grande o más pequeña) de tal manera que en cualquier momento de la primera (a, b, c) corresponde a otra de la segunda (a ‘, b’, c ‘) como la razón de las distancias de los puntos homólogos en el centro, llamado homotecia (k) (k) (k).
PA/PA ‘= PB/PB’ = PC/PC ‘= K
Línea de Euler
Como Leonhard Euler mostró en 1765, el Sucudente, el ortocentro y el Bontener de un triángulo son colinas, es decir, están en la misma línea, llamadas Euler directamente en honor a su descubridor. Además, el centro de la circunferencia de Feuerbach también se encuentra en la misma línea (¿puede encontrar exactamente dónde?). Y en algunos casos (¿en qué?) El fuego también se encuentra en la línea Euler.
Y no termina ahí. Otro punto de la línea Euler que merece su propio nombre es el de Longchamps, llamado en honor del matemático francés Gaston de Longchamps (1842-1906), que es el simétrico del jardín con respeto al Cudente (¿puede ver qué lo hace interesante?).).).).
Y si complicamos un poco más los criterios para determinar los puntos notables de la línea Euler, encontraremos el punto de Schiffler: dado un triángulo ABC y su incentivo I, su punto de Schiffler es el que las líneas respectivas de Euler de los triángulos ABC, ABI, ACI y BCI (¿puedes determinar su ubicación exacta?
Y hay más, como el punto de Exeter (descubierto en un seminario de computadora para computadoras) o el punto distante, que debe dejarse para otro episodio. O diferente, porque los puntos especiales del polígono aparentemente único de tres lados son tantos que incluso hay una enciclopedia de puntos notables del triángulo.